哲数物を学ぶ

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MathJaxで数式の上から斜線で取り消し線を引く方法(\cancelコマンドの読み込み方)

Latexで数式の上から斜線の取り消し線を引くには\cancelコマンドを用いればよいのだが,MathJaxでは標準では実装されておらず,cancel.jsを前もって読み込む必要がある.

方法

1.ヘッダーの中のMathJaxの設定のブロックにTeX: { extensions: ["cancel.js"] }を追加する. 私の場合以下のようになってる.

<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({ 
  TeX: {  extensions: ["cancel.js"] },
  tex2jax: { inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ], processEscapes: true }
});
</script>
<script type="text/javascript" async
  src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-AMS_CHTML">
</script>

注意:,(カンマ)で区切るのを忘れないように.

2.数式環境の中で\cancel{数式}によって斜線が引ける.

入力

$\cancel{a}+b=c+\cancel{a} , \bcancel{a+b} , \xcancel{ABC} , \cancelto{1234}{ABC}$

表示

$\require{cancel}$ $\cancel{a}+b=c+\cancel{a} ,\bcancel{a+b} ,\xcancel{ABC} ,\cancelto{1234}{ABC}$

ヘッダーに追加しなくても\cancelを使用したいページごとに\require{cancel}で読み込むことも可能

ページの最初の方で$\require{cancel}$を一度書いておけばいい.



参考

MathJax TeX and LaTeX Support — MathJax 2.7 documentation


エルミート演算子の不確定性関係の証明

  • 命題
  • 補題
  • 命題の証明
  • 例・位置と運動量の不確定性関係

$\require{cancel}$

命題

エルミート演算子 $\hat{A}$,$\hat{B}$ とその交換関係 $[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$ に対し, $$\sqrt{\langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{B})^2 \rangle} \geq \frac{1}{2} |\langle [\hat{A},\hat{B}] \rangle| \tag{1}$$ が成り立つ.ただし,任意の状態 $|\psi \rangle$ を用いて $\langle \hat{A} \rangle = \langle \psi|\hat{A}|\psi \rangle$,$\Delta \hat{A} = \hat{A} - \langle \hat{A} \rangle$ とする.

続きを読む

エルミート演算子の固有値は実数であることの証明

命題

(a) エルミート演算子固有値は実数である.

(b) 1つのエルミート演算子の異なる固有値に対応する固有状態は互いに直交する.

(a)の証明

あるエルミート演算子 $\hat{A}$ に対して,その固有状態を $|a_i \rangle$ ,固有値複素数 $a_i $ とする(添え字 $i$ は0を含む自然数).すなわち $i$ 番目の固有値方程式は $$\hat{A} |a_i \rangle = a_i |a_i \rangle \tag{1}$$ と表される.エルミート性より $\hat{A}^{\dagger} =\hat{A}$ なので,$j$ 番目の固有値方程式の両辺のエルミート共役をとると,

$$\langle a_j | \hat{A}=a_j^* \langle a_j| \tag{2}$$

となる.式(1)の両辺に左から $\langle a_j |$ をかけ,式(2)の両辺に右から $|a_i \rangle$ をかける.

\begin{eqnarray} \langle a_j | \hat{A} |a_i \rangle &=& a_i \langle a_j |a_i \rangle \tag{3} \\ \langle a_j | \hat{A} |a_i \rangle &=& a_j^* \langle a_j|a_i \rangle \tag{4} \end{eqnarray}

$(3)-(4)$ より, $$(a_i -a_j^{*})\langle a_j |a_i \rangle =0 \tag{5}$$ が成り立つ.$i=j$ のとき,$\langle a_i |a_i \rangle \neq 0 $ なので $a_i=a_i^{*}$ である.複素共役が不変なので $a_i$ は実数である.つまり,エルミート演算子固有値は実数であることが示された.

(b)の証明

エルミート演算子固有値が実数であることが先ほど示されたので $a_j^{*}= a_j$ である.よって $i \neq j$ のとき,$a_i - a_j^{*} = a_i - a_j \neq 0$ なので,式(5)より $\langle a_j |a_i \rangle = 0$ である.つまり,異なる固有値に対応する固有状態は直交する.




位置演算子と運動量演算子はエルミート演算子であることの証明

命題

ある関数 $\psi(x)$,$\phi(x)$ が $x$ のすべての領域で定義されており,境界条件 $$\lim_{x \to \pm \infty} \psi(x) = 0 \ , \ \ \ \lim_{x \to \pm \infty} \phi(x) = 0 \tag{1}$$ をみたすものとする.このとき,位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ はエルミート演算子である.

証明

位置演算子固有ベクトル $|x \rangle $ を用いて,位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ の固有値方程式は以下のように従うとする. $$ \hat{x}|x \rangle =x|x \rangle \ , \ \ \ \hat{p} |x\rangle =-i \hbar \frac{\partial}{\partial x} |x\rangle$$

状態ベクトル $|\psi \rangle $,$|\phi \rangle$ を用いて,$\psi(x)=\langle x|\psi \rangle$,$\phi(x)=\langle x|\phi \rangle$ と表すとする.

$$\langle \psi|\hat{x}|\phi \rangle =\langle \phi|\hat{x}|\psi \rangle ^{*} \ \ ,\ \ \langle \psi|\hat{p}|\phi \rangle =\langle \phi|\hat{p}|\psi \rangle ^{*}$$ を示せばよい.

\begin{eqnarray} \langle \psi|\hat{x}|\phi \rangle &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dx' \langle \psi |x \rangle \underbrace{\langle x|\hat{x}|x' \rangle}_{=x' \langle x|x' \rangle} \langle x'|\phi \rangle \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \ x \langle \psi |x \rangle \langle x|\phi \rangle \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \ x \psi ^{*} (x) \phi(x) \\ &=& \left( \int_{-\infty}^{\infty} dx \ x \phi ^{*} (x) \psi(x) \right)^{*} \\ &=& \langle \phi|\hat{x}|\psi \rangle ^{*} \\ \end{eqnarray}

よって位置演算子 $\hat{x}$ がエルミートであることが示された.

\begin{eqnarray} \langle \psi|\hat{p}|\phi \rangle &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dx' \langle \psi |x \rangle \underbrace{\langle x|\hat{p}|x' \rangle}_{=-i \hbar \frac{\partial}{\partial x'} \langle x|x' \rangle} \langle x'|\phi \rangle \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \langle \psi |x \rangle \left(-i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \langle x|\phi \rangle \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \ \psi ^{*}(x) \left(-i \hbar \frac{\partial \phi(x)}{\partial x} \right) \hspace{3.7cm} \end{eqnarray} 部分積分をして \begin{eqnarray} \phantom{\langle \psi|\hat{p}|\phi \rangle}&=& \underbrace{\left[\psi ^{*} (x)(-i\hbar \phi(x)) \right]^\infty_{-\infty}}_{(1)より\ =\ \ 0} - \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{\partial \psi^{*}(x)}{\partial x} (-i \hbar \phi(x)) \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \left(i \hbar \frac{\partial \psi^{*}(x)}{\partial x} \right) \phi(x) \\ &=& \left(\int_{-\infty}^{\infty} dx \ \phi^{*}(x) \left(-i \hbar \frac{\partial \psi(x)}{\partial x} \right) \right)^{*} \\ &=& \langle \phi|\hat{p}|\psi \rangle ^{*}
\end{eqnarray}

よって運動量演算子 $\hat{p}$ がエルミートであることが示された.



現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

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