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時間に依存しない,縮退のない摂動まとめ【量子力学の近似解法】

時間に依存しない,非縮退な摂動論の問題設定と計算方法をまとめる.

問題

非摂動ハミルトニアン $\hat{H}_0$ と摂動ポテンシャル $\hat{V}$ と微小パラメータ $\lambda$ によって $$\hat{H}=\hat{H}_0+ \lambda \hat{V}$$ という形をした,時間に依存しないハミルトニアン $\hat{H}$ で表される量子系の解 $\{(E_n , |n \rangle)\}_{n}$ を近似的に求める.

$E_n$はハミルトニアン $\hat{H}$ のエネルギー固有値,$|n \rangle$ はエネルギー固有値 $E_n$ に対応した固有状態である.すなはち,

$$\hat{H} |n \rangle=E_n |n \rangle \tag{1}$$

と表される.

非摂動項 $\hat{H}_0$ の厳密で非縮退な解 $\{(E^{(0)}_n , |n^{(0)} \rangle)\}_{n }$ が与えられているとする.すなわち,$\hat{H}_0$ の厳密で非縮退なエネルギー固有値 $\{E^{(0)}_n \}_{n}$ とそれに対応した固有状態 $\{|n^{(0)} \rangle\}_{n}$ を用いて

$$\hat{H}_0 |n^{(0)} \rangle=E^{(0)}_n |n^{(0)} \rangle$$

が成り立つ.

方法

求めたい解 $\{(E_n , |n \rangle)\}_{n}$ を非摂動解 $\{(E^{(0)}_n , |n^{(0)} \rangle)\}_{n }$ からのずれとして以下のように $\lambda$ のべき級数として展開する. $$\begin{eqnarray} |n \rangle &=&|n^{(0)} \rangle + \lambda |n^{(1)} \rangle + \lambda^2 |n^{(2)} \rangle + \cdots \\ E_n &=& E^{(0)}_n + \lambda E^{(1)}_n + \lambda^2 E^{(2)}_n + \cdots \end{eqnarray}$$

これらを式(1)に代入して $\lambda$ の次数ごとに係数比較することで1次以上の摂動固有状態 $\{|n^{(k)} \rangle \}_{k \in \mathbb{N}}$ と摂動エネルギー固有値 $\{E^{(k)}_n \}_{k \in \mathbb{N}}$ を逐次計算することができる.

結果(1次と2次について)

非摂動固有状態 $\{|n^{(0)} \rangle\}_{n}$ における摂動ポテンシャル $\hat{V}$ の行列要素 $V_{nk}\equiv \langle n^{(0)}|\hat{V}|k^{(0)} \rangle$ を用いると,1次と2次の摂動は以下の公式によって求められる.

$$ \begin{eqnarray} |n^{(1)} \rangle &=& \sum_{k \neq n} |k^{(0)} \rangle \frac{V_{kn}}{E_n ^{(0)} -E_k ^{(0)}} \\ |n^{(2)} \rangle &=& \sum_{k \neq n} \sum_{l \neq n} |k^{(0)} \rangle \frac{V_{kl} V_{ln}}{(E_n ^{(0)} -E_k ^{(0)})(E_n ^{(0)} -E_l ^{(0)})} - \sum_{k \neq n} |k^{(0)} \rangle \frac{V_{nn} V_{kn}}{(E_n ^{(0)} -E_k ^{(0)})^2} \\ E_n ^{(1)} &=& V_{nn} \\ E_n ^{(2)} &=& \sum_{k \neq n} |k^{(0)} \rangle \frac{|V_{nk}|^2}{E_n ^{(0)} -E_k ^{(0)}} \end{eqnarray} $$

参考文献

現代の量子力学(下) 第2版 (物理学叢書)

現代の量子力学(下) 第2版 (物理学叢書)

1次元イジング模型はマルコフ連鎖確率過程をなす

設定と表記方法

最近接相互作用のみを持つ1次元イジング模型を考える.この系のハミルトニアン

\begin{eqnarray}
H(\{\sigma_i \}_{i=1})=-J\sum_{i=1}\sigma_{i} \sigma_{i+1}-H\sum_{i=1} \sigma_{i} \tag{}
\end{eqnarray}

とする.\sigma_i はスピンの値($\pm 1$)を表す.$J$ は近接間の相互作用の強さ,$H$ は外場の強さを表す.(参考1)

\{\sigma_i \}_{i=j} という表記は添え字 $i = j,j+1,j+2,\cdots$ で走る $\pm1$ の値の列を表す.例えば5粒子系で2番目からのスピンを見れば, \{\sigma_i \}_{i=2} =\{\sigma_{2},\sigma_{3},\sigma_{4},\sigma_{5} \}= \{ +1, -1, +1, -1 \} というような 16 (=  2^4) 通りのスピン列のパターンが考えられる.

このハミルトニアンをもちいてカノニカル確率分布は

{\displaystyle p(\{\sigma_i \}_{i=1} )=\frac{1}{Z} \exp \left(K\sum_{i=1} \sigma_{i} \sigma_{i+1}+h\sum_{i=1} \sigma_{i} \right) \tag{}}

と与えられる.(これはスピン列のパターンが \{\sigma_i \}_{i=1} となる確率を表す.)ただし, K=\beta J , h=\beta Hとし,$Z$ は分配関数

{\displaystyle Z= \sum_{\{\sigma_i =\pm 1 \}_{i=1}} \exp \left(K\sum_{i=1} \sigma_{i} \sigma_{i+1}+h\sum_{i=1} \sigma_{i} \right) \tag{}}

である.(全てのスピン列のパターン( 2^{粒子数}通り)について和をとっている.)

分配関数は厳密に計算ができるがここでは省略する.(参考2)

また,この先で転送行列の考えを用いるので知らない方は他のサイトや統計力学の本に一度目を通していただきたい.(参考2,5,6)

ここでは以下のように転送行列 $T$ を定義する

(T)_{\sigma_i \sigma_{i+1}}=\exp \left(K\sigma_{i} \sigma_{i+1}+\frac{h}{2} (\sigma_{i} +\sigma_{i+1}) \right) \tag{}

${\displaystyle T=\left( \begin{array}{cc} (T)_{+1,+1} & (T)_{+1,-1} \\ (T)_{-1,+1} & (T)_{-1,-1} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} e^{K+h} & e^{-K} \\ e^{-K}& e^{K-h} \end{array} \right) } \tag{}$

この転送行列 $T$ を用いるとカノニカル確率分布は

{\displaystyle p(\{\sigma_i \}_{i=1} )=\frac{1}{Z} \prod_{i=1} (T)_{\sigma_i \sigma_{i+1}} \tag{}}

と表される.

$i$ 番目のスピンの値が \sigma_i である確率 p(\sigma_i) は $i$ 番目のスピンの値が \sigma_i である全てのパターンの確率を足したものである.よって

{\displaystyle \begin{equation}
p(\sigma_i) =\sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j\neq i}} p(\{\sigma_j \}_{j=1} )
=\frac{1}{Z} \sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j\neq i}} \prod_{j=1} (T)_{\sigma_j \sigma_{j+1}} \\
=\frac{1}{Z} \left \{ \sum_{\sigma_1 =\pm 1 } (T)_{\sigma_1 \sigma_i} \right \} \sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j= i+1}} \prod_{j=i} (T)_{\sigma_j \sigma_{j+1}}
\end{equation} \tag{}}

と表せる.

証明

命題

この系の配置を左から右に向けての離散的な時間発展記録としてみれば,マルコフ連鎖確率過程となる.

この命題を示す.添え字 $i$ が離散的な時間として,時間 $i$ におけるスピンの値を \sigma_i(=\pm 1) として考えればよい.総和と総乗の記号がややこしいかもしれないが一度紙に書き下したりすれば式の構造が理解しやすくなると思う.

マルコフ連鎖の定義に沿って

{\displaystyle P(\sigma_{i+1} |\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_{i})=P(\sigma_{i+1} |\sigma_i) \tag{}}

となることを示そう.(参考4)

この式の左辺は1番目から $i$ 番目のスピンの値が \{\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_{i}\} であるという条件があるときに $i+1$ 番目のスピンの値が \sigma_{i+1} となる確率である.

{\displaystyle \begin{equation} P(\sigma_{i+1} |\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_{i})
= \frac{P(\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_{i},\sigma_{i+1})}{P(\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_{i})}
= \frac{\sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j=i+2}} p(\{\sigma_j \}_{j=1} )}{\sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j=i+1}} p(\{\sigma_j \}_{j=1} )} \\
=\frac{\left \{\prod_{j=1}^{i-1} (T)_{\sigma_j \sigma_{j+1}} \right \}(T)_{\sigma_i \sigma_{i+1}} \sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j=i+2}} \prod_{j=i+1} (T)_{\sigma_j \sigma_{j+1}}}{\left \{\prod_{j=1}^{i-1} (T)_{\sigma_j \sigma_{j+1}} \right \}\sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j=i+1}} \prod_{j=i} (T)_{\sigma_j \sigma_{j+1}}} \\
=\frac{(T)_{\sigma_i \sigma_{i+1}} \sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j=i+2}} \prod_{j=i+1} (T)_{\sigma_j \sigma_{j+1}}}{\sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j=i+1}} \prod_{j=i} (T)_{\sigma_j \sigma_{j+1}}}
\end{equation} \tag{}}

右辺も同様に

{\displaystyle \begin{equation} P(\sigma_{i+1}|\sigma_{i})
=\frac{P(\sigma_{i},\sigma_{i+1})}{P(\sigma_{i})}
= \frac{\sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j \neq i,i+1}} p(\{\sigma_j \}_{j=1} )}{\sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j\neq i}} p(\{\sigma_j \}_{j=1} )} \\
=\frac{\left \{\sum_{\sigma_1 =\pm 1 } (T)_{\sigma_1 \sigma_i}\right \} (T)_{\sigma_i \sigma_{i+1}} \sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j= i+2}} \prod_{j=i+1} (T)_{\sigma_j \sigma_{j+1}}}{\left \{ \sum_{\sigma_1 =\pm 1 } (T)_{\sigma_1 \sigma_i} \right \}\sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j= i+1}} \prod_{j=1} (T)_{\sigma_j \sigma_{j+1}}} \\
=\frac{(T)_{\sigma_i \sigma_{i+1}} \sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j=i+2}} \prod_{j=i+1} (T)_{\sigma_j \sigma_{j+1}}}{\sum_{\{\sigma_j =\pm 1 \}_{j=i+1}} \prod_{j=i} (T)_{\sigma_j \sigma_{j+1}}} \\
=P(\sigma_{i+1} |\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_{i})
\end{equation} \tag{}}

である.よって命題が示された.

このことはつまり,未来のスピンの値は現在のスピンの値のみに依存するということを指している.

参考文献

  1. イジング模型 - Wikipedia
  2. ときわ台学/統計力学/1次元イジングモデル,転送行列の方法,繰り込み群の方法
  3. http://school-crc.kek.jp/SummerSchool06/HTML/text2/node7.html
  4. マルコフ連鎖 - Wikipedia
  5. 相転移・臨界現象の統計物理学  新物理学シリーズ

    相転移・臨界現象の統計物理学 新物理学シリーズ

  6. 統計力学〈2〉 (新物理学シリーズ)

    統計力学〈2〉 (新物理学シリーズ)

位置または運動量演算子とそれら一方に関する関数との交換関係の公式

3次元位置演算子${\hat {\bf x}}$と運動量演算子${\hat {\bf p}}$とそれらに関する関数$F({\hat {\bf x}}),G({\hat {\bf p}})$について以下の交換関係が成り立つ.

$${\displaystyle \begin{eqnarray} [\hat{x}_i ,G({\hat{{\bf p}}})] &=& &i\hbar \frac{\partial G}{\partial \hat{p}_i} \\ [\hat{p}_i ,F({\hat{{\bf x}}})] &=& -&i\hbar \frac{\partial F}{\partial \hat{x}_i} \end{eqnarray}}$$

この演算子微分というのはあくまで形式的なものとなっている.\hat{x}と\hat{p}を正準交換関係が成り立つ単なる非可換な数として扱う.

関数をその変数の級数として展開することでこの公式を示すことができる.

例えば

$$[\hat{x},\hat{p}^n ] =\hat{n} \hat{p}^{n-1}$$

$${\displaystyle [ \hat{x},\exp \left( i\frac{\hat{p} \hat{x}}{\hbar} \right)] = -\hat{x} \exp \left( i\frac{\hat{p} \hat{x}}{\hbar} \right) }$$

などが成り立つ.

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

PowerPointでLaTeXのコマンドを用いて数式の入力をする方法

最近,Office365のアップデートでWordとPowerPointOneNoteの数式入力ツールにおいてLaTeXのコマンドを用いることができるようになった.

以下のサイトに詳細が書かれている.

LaTeX Math in Office – Murray Sargent: Math in Office

PowerPointにおいてはLatexで入力するにはその前に少し手間が必要なので詳しく説明しようと思う.

以下の手順でUnicodeMath入力とLatex入力の切り替えコマンドを設定する.

  1. 数式ツールの起動
  2. 数式オプションを開く(次の画像の赤丸で囲んだボタンから開くことができる)f:id:OviskoutaR:20170804231953p:plain
  3. 数式オートコレクトを開く
  4. 修正文字列に「\TeX」,修正後の文字列に「 Ⓣ」と入力し追加( Ⓣ の入力は 24C9 と入力してから Alt+x ) 次の図を参照f:id:OviskoutaR:20170804232532p:plain
  5. 前項と同様に次は,修正文字列に「\LF」,修正文字列に「Ⓛ」と入力し追加(Ⓛの入力は 24C1 と入力してから Alt+x )

これで前準備は終了である.見てお分かりの通り,切替のトリガーは「\TeX」と「\LF」である.

実際の入力では,数式ツール上で今まで通りのUnicodeMathで入力できる状態で「\TeX」と入力しspaceを押すことでLatexでの入力モードに切り替えてからLatexで数式を入力することになる.私の環境では一度数式ツールを立ち上げてLatexモードに切り替えると数式ツールが閉じてしまい,もう一度数式ツールを起動してからやっと入力ができるという感じだったのですこし面倒くさかった.PowerPointで数式ツールを立ち上げるショートカットキーは「Alt + ; (セミコロン)」なので覚えるとよい.

逆に,Latex入力モードの状態で「\LF」と入力しspaceを押すことで元のUnicodeMath入力モードに戻る.

PowerPointでのlatexでの数式入力を自分でいろいろ試してみて思ったことは,逐一自分で入力するときはWYSIWYGLatexな感じで便利であった.しかし,webサイト上からある程度長い数式のLatexコードをコピペするとうまく変換されないときがあり面倒くさかった.その改善も含めまだいろいろ試してみる価値はありそうだ.

参考サイト

PowerPointで数式を打ちたい時のショートカットキー - Qiita

sinc関数を用いたガウス関数(正規分布)の近似

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} {\rm sinc}^{n} \left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right) = e^{-\frac{x^2}{6}}} の証明

\begin{equation}
\displaystyle{{\rm sinc}^n \left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right) =\left(\frac{\sin \frac{x}{\sqrt{n}}}{\frac{x}{\sqrt{n}}} \right)^n \\
=\left\{\frac{\sqrt{n}}{x} \left(\frac{x}{\sqrt{n}} - \frac{1}{6}  \left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right)^3 +O\left(\left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right)^5 \right) \right)\right\}^n \\
=\left\{1 - \frac{1}{6}  \left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right)^2 +O\left(\left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right)^4 \right) \right\}^n \\
=\left\{1 - \frac{1}{6}  \frac{x^2}{n} +O\left(\left(\frac{x^2}{n} \right)^2 \right) \right\}^n \\
=1 - \frac{x^2}{6} +O\left( \left(\frac{x^2}{n} \right)^2 \right) \\
\to  e^{-\frac{x^2}{6}} \ \ \ (n \to \infty)
}\end{equation}

ランダウのO記法と二項定理によるn乗の展開を用いている.

参考サイト

wlframalpha https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sinc(x%2F%E2%88%9A(n)))%5En

wordの数式入力コマンドが詳しく説明されているサイト(pdf)

Microsoft Word Equation Editor Tutorial

https://www.cs.bgu.ac.il/~khitron/Equation%20Editor.pdf

Unicode Plain Text Encoding of Mathematics

http://www.unicode.org/notes/tn28/UTN28-PlainTextMath-v3.pdf

一つ目のpdfで入力したいことのほとんどが分かると思う.

二つ目は詳しすぎて私はあんまり読めていない(英語が苦手)

円上に束縛された粒子の運動量演算子の極座標表示

xy平面上の半径Rの円上に束縛された粒子を考える.

このとき粒子の持つ運動量pは方位角\phi成分のみを持ち,軌道角運動量のz成分Lzは

 L_z=Rp

である.

よってこの系での運動量演算子pの極座標表示は

\displaystyle{\langle \phi |p|\phi^\prime  \rangle = \langle \phi |\frac{L_z}{R} |\phi^\prime \rangle =-i \frac{\hbar}{R} \frac{\partial}{\partial \phi} \delta (\phi-\phi^\prime)}

となる.

以下に簡単な図を載せる.

f:id:OviskoutaR:20170727183304p:plain:w300

軌道角運動量演算子極座標表示に関してはいろいろな量子力学の本や解説webサイトが説明しているので各自参照していただきたい.