哲数物を学ぶ

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『理論電磁気学』第8章§7電磁波の散乱 を読んだ

理論電磁気学』著.砂川重信 1999年

の第8章§7 電磁波の散乱 を読んだ .

あるモノに電磁波が衝突すると何らかの影響(境界条件など)を与えられ電磁波の散乱現象が起きる.そんな電磁波の障害物のようなモノを散乱体という.電磁波によって散乱の影響が拡大され,目的の微小な対象の性質を調べることができる.
定常波を使った散乱問題を解いてみよう.やることは,波動方程式の初期値問題を解くことである.

定常波の波動関数を変数分離した位置に関する関数はHelmholtz方程式を満たす.この方程式の一般解をまず求めよう.
散乱体を中心とした対称な散乱を考えるとすると,球座標を用いるのが良いだろう.解をさらに変数分離すれば一般解は級数解としてLegendre展開の形で表される.その係数部分は変数分離した時に現れた動径関数である.その動径関数はBesselの微分方程式をみたし,球Bessel関数を用いて表される.これでHelmholtz方程式の一般解が得られた.
この一般解にある一方向に進む平面波を代入して比較して係数を求めれば,Reyleighの公式が得られる.これは,平面波をLegendre展開した式と見ればいいだろう.

あとは,この一般解の未定定数を散乱体による境界条件や,無限遠方での境界条件を用いて求めればよい.
また,この結果は実験によって検証されなければならないが,どんな物理量が散乱によって得られるのか.わかりやすいのはエネルギ―である.エネルギーを散乱現象で分かりやすい形に変えたのが散乱断面積である.散乱断面積を求めるためには散乱振幅が必要であり,そのパラメータである散乱角も,平面波や散乱振幅の展開計算によって,また新たなパラメータを用いて表されることになる.
その過程で,入射波と散乱波の十分遠方での位相のずれを用いて,散乱波の波動関数が表されることになる.

そして,球Bessel関数の漸近形をつかって係数比較で簡単に散乱波の波動関数の位相のずれを求めることができる.位相のずれを求めれば逆に全断面積が求められ散乱問題は解決である.
散乱体の大きさに対して電磁波の波長が十分大きいと散乱されにくくなる.全断面積は波長の4乗に逆比例する.これはReyleigh散乱と呼ばれる.
例えば可視光は空気分子に対してReyleigh散乱を起こす.波長の短い青色の光はよく散乱され,地上の人間の目によく届くので空が青いのである.

Kirchhoffの積分表示を用いて積分方程式を解くことによっても散乱問題を解くことができる.波動関数をLegendre展開したり,特殊関数を用いたり,かなり数学的技巧の要求される計算であるが導かれる解は同じである.



理論電磁気学

理論電磁気学

『春宵十話』を読んだ

『春宵十話』著.岡潔 1963年

を読んだ.

岡潔氏は,日本を代表する世界的な数学者である.多変数関数論が専門で,当時の未解決問題を独自に作り出した概念を用いていくつも解決した独創的な数学者として知られている.
彼は第二次世界大戦を経験し,戦後と戦前で現れた日本民族の大きな変化を肌で感じ,そして将来の日本を憂いていたようである.
本書は彼が話したことを,新聞社の方がまとめてエッセイ風に文にしたものである.

はしがき冒頭の「人の中心は情緒である.」という一文は岡氏の思想が端的にまとめられている.日本人には日本人特有の情緒というものがあってそれを表現することの大切さを岡氏は説いている.

情緒というと現代で日常的に使われるのは「情緒豊か」,「情緒不安定」というような用法である.情緒は人間の感性や感情,つまり人間の動物的な部分の上にある,人を人たらしめる理性の器を表した言葉なのであると私は思う.そしてひとそれぞれの持つ情緒がいろいろな思想に直接につながっている.
岡氏が感じていた日本人の思考能力の低下の傾向は戦後70年たった今も続いている.よくニュースでも考える量の足りていない人間が奇怪な犯罪を犯しているのが多くみられる.せめて何が他人の迷惑になるのかくらいは判断できるようになってもらいたいものだが,これはもう叶わないことなのだろう.完全に情緒が失われてただの動物になってしまっているからである.
私自身も良く考えられる人間でありたいと日ごろから心がけているが,身の回りの環境に振り回されることもしばしば.私の意志の力はあまり育たなかったようである.

日本の政治の教育の優先度の低さは恐怖を感じるレベルである.きっと誰かが日本を衰退させるために陰謀を働かせているのであろう.そう勘繰ってしまうほどの愚かさである.岡氏が今の日本を見たら非常に悲しむであろう.



春宵十話 (角川ソフィア文庫)

春宵十話 (角川ソフィア文庫)

『理論電磁気学』第8章§6電磁波の回折 を読んだ

『理論電磁気学』著.砂川重信 1999年

の第8章§6 電磁波の回折 を読んだ

波動の回折現象といえば,Huygensの原理である.波面上の各点から発する球面素元波の包絡面が次の新たな波面を作るという直感的にもわかりやすい原理である.しかし,球面素元波を考えると波の進行とは逆の面の包絡面も考えられるのでその後ろ向きの波について詳しく考える必要がある.

ここでは,Huygensの原理を数学的に定式化して,波動の回折現象そのものについて詳しく議論していく.そのためにまず波動関数をKirchhoffの積分表示を用いて表す.

始まりは,3次元のGreenの定理の両辺をある時間で積分した式である.Greenの定理は二つの任意のスカラー関数についての恒等式を与えてくれるが,その一つを空間を伝搬する波動関数,もう一つをDret関数とする.そうすることで,観測する時刻において,まだ発生していない波面の影響を取り除き,目的の位置で観測した波動を扱うことができる.
計算すると,とある位置での波動の値を,その点を含んだ閉曲面上での波動関数の値の積分で表すことができる.これがKirchhoffの積分表示である.

この式を用いてHuygensの原理を定式化していく
原点Oから球面波が発進するとして,それを包む閉曲面Sとその外側の空間領域をVとすれば,任意の点Pでの波動の値をS上の積分で求めることができる.
閉曲面の取り方は任意なので,例えば楕円面をとってみる.楕円といわれて私がすぐに(運動学的に)思い浮かぶのは,片方の焦点から打った球がどの方向に飛んでも楕円面で完全弾性反跳すればもう片方の焦点に向かって飛んでいく,というイメージである.
ここでは原点を一つの焦点としてそこから発進された波動が楕円面を経由してもう片方の焦点にすべてもどっていくというようなイメージをすると,二つの焦点での波動関数は等しいのではないか,といいたくなる.
そんなことを対称性を踏まえて詳しく考えていくと逆行する波動が0であることが明らかになる.つまりHuygensの原理の欠点がこれで解決された.
それが言えれば,次は閉曲面として球面をとって実際に任意の点での波動関数を計算して回折現象の定式化は一段落である.

小孔による回折ではKirchhoffの近似という仮定や波長や孔の大きさが小さいというような近似をすれば上手いこと計算できて強度分布が調べられる.



理論電磁気学

理論電磁気学

『朝倉物理学大系1 解析力学1』3.1.1を読んだ

『朝倉物理学大系1 解析力学1』 著.山本義隆,中村孔一 1998年

の3.1.1 作用積分とハミルトンの原理を読んだ

d'Alembertの原理の式を配位空間上の点の運動が時間発展して描かれた経路に沿って積分をする.両端を固定する仮想変位をとろうとすると,Lagrangianの変分をその経路に沿って積分したものが0になる式が得られる.この積分を作用積分と呼ぶ.これを逆に進めてLagrange方程式を得ることもできるので,「作用積分の停留曲線が実際の運動の軌跡である.」という要請を新たな原理として理論を構築しよう.この原理をハミルトンの原理とよぶ.



解析力学1 (朝倉物理学大系)

解析力学1 (朝倉物理学大系)