哲数物を学ぶ

自然科学のことや自分の経験や考えたことについて書いていきます.

物理学

エルミート演算子の不確定性関係の証明

命題 補題 補題1・Schwarzの不等式 補題2・エルミート演算子の期待値は実数である. 補題3・反エルミート演算子の期待値は純虚数である. 命題の証明 例・位置と運動量の不確定性関係 $\require{cancel}$ 命題 エルミート演算子 $\hat{A}$,$\hat{B}$ とそ…

エルミート演算子の固有値は実数であることの証明

命題 (a) エルミート演算子の固有値は実数である. (b) 1つのエルミート演算子の異なる固有値に対応する固有状態は互いに直交する. (a)の証明 あるエルミート演算子 $\hat{A}$ に対して,その固有状態を $|a_i \rangle$ ,固有値を複素数 $a_i $ とする(添…

位置演算子と運動量演算子はエルミート演算子であることの証明

命題 ある関数 $\psi(x)$,$\phi(x)$ が $x$ のすべての領域で定義されており,境界条件 $$\lim_{x \to \pm \infty} \psi(x) = 0 \ , \ \ \ \lim_{x \to \pm \infty} \phi(x) = 0 \tag{1}$$ をみたすものとする.このとき,位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演…

状態ベクトルの三角不等式の証明

問題 二つの状態ベクトル $|A \rangle $,$|B \rangle$ の長さについての三角不等式 $$||A \rangle + |B \rangle | \leq ||A \rangle | + ||B \rangle |$$ を証明せよ. Schwarzの不等式 $$|\langle A|B \rangle| \leq ||A \rangle | \cdot ||B \rangle |$$ …

時間に依存しない,縮退がある時の摂動まとめ

時間に依存しない,縮退がある時の摂動論の問題設定と計算方法をまとめる. 問題 方法 結果(エネルギー固有値の1次の摂動について) 問題 問題は縮退がない場合と同じである.→ http://oviskoutar.hatenablog.com/entry/2017/09/27/124420 非摂動ハミルト…

時間に依存しない,縮退のない摂動まとめ

時間に依存しない,非縮退な摂動論の問題設定と計算方法をまとめる. 問題 方法 結果(1次と2次について) 問題 非摂動ハミルトニアン $\hat{H}_0$ と摂動ポテンシャル $\hat{V}$ と微小パラメータ $\lambda$ によって $$\hat{H}=\hat{H}_0+ \lambda \hat{V}…

1次元イジング模型はマルコフ連鎖確率過程をなす

設定と表記方法 証明 参考文献 設定と表記方法 最近接相互作用のみを持つ1次元イジング模型を考える.この系のハミルトニアンを とする. はスピンの値($\pm 1$)を表す.$J$ は近接間の相互作用の強さ,$H$ は外場の強さを表す.(参考1) という表記は…

位置または運動量演算子とそれら一方に関する関数との交換関係の公式

3次元位置演算子 ${\hat {\bf x}}$ と運動量演算子 ${\hat {\bf p}}$ とそれらに関する関数 $F({\hat {\bf x}})$,$G({\hat {\bf p}})$ について以下の交換関係が成り立つ. $$\begin{eqnarray} [\hat{x}_i ,G({\hat{{\bf p}}})] &=& &i\hbar \frac{\partia…

円上に束縛された粒子の運動量演算子の極座標表示

xy平面上の半径 $R$ の円上に束縛された粒子を考える. このとき粒子の持つ運動量 $p$ は方位角 成分のみを持ち,軌道角運動量の $z$ 成分 $L_z$ は である. よってこの系での運動量演算子 $p$ の極座標表示は となる. 以下に簡単な図を載せる. 軌道角運…

ガンマ行列と4元運動量の内積の2乗は静止質量の二乗になる

の証明 \begin{eqnarray} (\gamma\cdot p)^{2} &=& \gamma^{\mu} p_{\mu} \gamma^{\nu} p_{\nu} \\ &=& \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} \frac{1}{2} (p_\mu p_\nu + p_\nu p_\mu) \\ &=& \frac{1}{2} \left\{\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} p_\mu p_\nu + (2g^{\mu \…

『大栗先生の超弦理論入門』をよんだ.

『大栗先生の超弦理論入門』 著:大栗博司 2013年 を読んだ. 本書は,現在,物理学の最先端で力の統一理論の有力な候補として多くの研究者が研究している超弦理論について,その権威である大栗博司先生自らが一般向けに優しく説明をしてくれるとてもありが…

重力によるポテンシャル下での運動方程式(円筒座標系)

質量mの物体の円筒座標系(r,θ,z)での運動エネルギーを求めよ.重力によるポテンシャルエネルギーを考慮しラグランジアンを求め,円筒座標系での運動方程式を求めよ. 解 重力によるポテンシャル下での運動方程式.pdf - Google ドライブ

『理論電磁気学』第8章§7電磁波の散乱 を読んだ

理論電磁気学』著.砂川重信 1999年 の第8章§7 電磁波の散乱 を読んだ . あるモノに電磁波が衝突すると何らかの影響(境界条件など)を与えられ電磁波の散乱現象が起きる.そんな電磁波の障害物のようなモノを散乱体という.電磁波によって散乱の影響が拡大…

『理論電磁気学』第8章§6電磁波の回折 を読んだ

『理論電磁気学』著.砂川重信 1999年 の第8章§6 電磁波の回折 を読んだ 波動の回折現象といえば,Huygensの原理である.波面上の各点から発する球面素元波の包絡面が次の新たな波面を作るという直感的にもわかりやすい原理である.しかし,球面素元波を考え…

『朝倉物理学大系1 解析力学1』3.1.1を読んだ

『朝倉物理学大系1 解析力学1』 著.山本義隆,中村孔一 1998年 の3.1.1 作用積分とハミルトンの原理を読んだ d'Alembertの原理の式を配位空間上の点の運動が時間発展して描かれた経路に沿って積分をする.両端を固定する仮想変位をとろうとすると,Lagrangi…

理論電磁気学(砂川重信) 第8章 電磁波

p185から電磁波の話。まずは真空中から。電荷と電流がないとして。Maxwell方程式を解く。 方程式の形は結局は波動方程式になる。ベクトルポテンシャルをAとすると。□A=0。 解を平面波としてもとめる。偏りは2つの波動の複素振幅の位相差によって直線的、円形…