哲数物を学ぶ

自然科学のことや自分の経験や考えたことについて書いていきます.

ガンマ行列と4元運動量の内積の2乗は静止質量の二乗になる

(\gamma \cdot p)^{2}=m^{2} の証明

\begin{eqnarray} (\gamma\cdot p)^{2} &=& \gamma^{\mu} p_{\mu} \gamma^{\nu} p_{\nu} \\ &=& \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} \frac{1}{2} (p_\mu p_\nu + p_\nu p_\mu) \\ &=& \frac{1}{2} \left\{\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} p_\mu p_\nu + (2g^{\mu \nu} - \gamma^{\nu} \gamma^{\mu}) p_\nu p_\mu \right\} \\ &=& g^{\mu \nu} p_\nu p_\mu \\ &=& m^2 \end{eqnarray}

四元運動量 p_\mu はただの数なのでそのまま対称化できる.