哲数物を学ぶ

自然科学のことや自分の経験や考えたことについて書いていきます.

円上に束縛された粒子の運動量演算子の極座標表示

xy平面上の半径 $R$ の円上に束縛された粒子を考える.

このとき粒子の持つ運動量 $p$ は方位角 \phi 成分のみを持ち,軌道角運動量の $z$ 成分 $L_z$ は

 L_z=Rp

である.

よってこの系での運動量演算子 $p$ の極座標表示は

\displaystyle{\langle \phi |p|\phi^\prime  \rangle = \langle \phi |\frac{L_z}{R} |\phi^\prime \rangle =-i \frac{\hbar}{R} \frac{\partial}{\partial \phi} \delta (\phi-\phi^\prime)}

となる.

以下に簡単な図を載せる.

f:id:OviskoutaR:20170727183304p:plain:w300

軌道角運動量演算子極座標表示に関してはいろいろな量子力学の本や解説webサイトが説明しているので各自参照していただきたい.