哲数物を学ぶ

自然科学のことや自分の経験や考えたことについて書いていきます.

sinc関数を用いたガウス関数(正規分布)の近似

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} {\rm sinc}^{n} \left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right) = e^{-\frac{x^2}{6}}} の証明

\begin{equation}
\displaystyle{{\rm sinc}^n \left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right) =\left(\frac{\sin \frac{x}{\sqrt{n}}}{\frac{x}{\sqrt{n}}} \right)^n \\
=\left\{\frac{\sqrt{n}}{x} \left(\frac{x}{\sqrt{n}} - \frac{1}{6}  \left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right)^3 +O\left(\left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right)^5 \right) \right)\right\}^n \\
=\left\{1 - \frac{1}{6}  \left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right)^2 +O\left(\left(\frac{x}{\sqrt{n}} \right)^4 \right) \right\}^n \\
=\left\{1 - \frac{1}{6}  \frac{x^2}{n} +O\left(\left(\frac{x^2}{n} \right)^2 \right) \right\}^n \\
=1 - \frac{x^2}{6} +O\left( \left(\frac{x^2}{n} \right)^2 \right) \\
\to  e^{-\frac{x^2}{6}} \ \ \ (n \to \infty)
}\end{equation}

ランダウのO記法と二項定理によるn乗の展開を用いている.

参考サイト

wlframalpha https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sinc(x%2F%E2%88%9A(n)))%5En