哲数物を学ぶ

自然科学のことや自分の経験や考えたことについて書いていきます.

位置または運動量演算子とそれら一方に関する関数との交換関係の公式

3次元位置演算子 ${\hat {\bf x}}$ と運動量演算子 ${\hat {\bf p}}$ とそれらに関する関数 $F({\hat {\bf x}})$,$G({\hat {\bf p}})$ について以下の交換関係が成り立つ.

$$\begin{eqnarray} [\hat{x}_i ,G({\hat{{\bf p}}})] &=& &i\hbar \frac{\partial G}{\partial \hat{p}_i} \\ [\hat{p}_i ,F({\hat{{\bf x}}})] &=& -&i\hbar \frac{\partial F}{\partial \hat{x}_i} \end{eqnarray}$$

この演算子微分というのはあくまで形式的なものとなっている.$\hat{x}$ と $\hat{p}$ を正準交換関係が成り立つ単なる非可換な数として扱う.

関数をその変数の級数として展開することでこの公式を示すことができる.

例えば

$$[\hat{x},\hat{p}^n ] =\hat{n} \hat{p}^{n-1}$$

$$ [ \hat{x},\exp \left( i\frac{\hat{p} \hat{x}}{\hbar} \right)] = -\hat{x} \exp \left( i\frac{\hat{p} \hat{x}}{\hbar} \right) $$

などが成り立つ.

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)

現代の量子力学(上) 第2版 (物理学叢書)