問題
二つの状態ベクトル $|A \rangle $，$|B \rangle$ の長さについての三角不等式 $$||A \rangle + |B \rangle | \leq ||A \rangle | + ||B \rangle |$$ を証明せよ． Schwarzの不等式 $$|\langle A|B \rangle| \leq ||A \rangle | \cdot ||B \rangle |$$ を用いてもよい．
証明
\begin{eqnarray} ||A \rangle + |B \rangle |^2 &=& (\langle A| + \langle B|)(|A \rangle + |B \rangle) \\ &=& \underbrace{\langle A|A \rangle}_{(a)} + \underbrace{\langle A|B \rangle + \langle B|A \rangle}_{(b)} + \underbrace{\langle B|B \rangle}_{(c)} \\ &=& \underbrace{||A \rangle |^2}_{(a)} + \underbrace{2 {\rm Re} [\langle A|B \rangle]}_{(b)} + \underbrace{||B \rangle |^2}_{(c)} \\ &\leq & ||A \rangle |^2 + \underbrace{2 |\langle A|B \rangle|}_{(b)} + ||B \rangle |^2 \\ &\leq & ||A \rangle |^2 + \underbrace{2 ||A \rangle | \cdot ||B \rangle |}_{(b)} + ||B \rangle |^2 （{\rm Schwarz}の不等式）\\ &=& (||A \rangle | + ||B \rangle |)^2 \\ \end{eqnarray} よって $$||A \rangle + |B \rangle | \leq ||A \rangle | + ||B \rangle |$$ が成り立つ．
${\rm Re}[\ ]$ は $[\ ]$ の中の数の実部を表す．
